Por que todo número elevado a 0 é igual a 1?

Você já se perguntou por que todo número diferente de zero elevado a 0 é igual a 1?

Por exemplo:

• 2⁰ = 1
• 5⁰ = 1
• 10⁰ = 1
• 100⁰ = 1
• 1.000.000⁰ = 1

À primeira vista, essa regra pode parecer estranha. Afinal, quando pensamos em uma potência, normalmente imaginamos uma multiplicação. Então, por que elevar um número a zero resulta em 1?

A resposta está nas propriedades da potenciação.

O que é uma potência?

Uma potência é uma forma de representar uma multiplicação de fatores iguais.

Por exemplo:

2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Nesse caso:

• 2 é a base;
• 4 é o expoente;
• 16 é o resultado da potência.

Quando diminuímos o valor do expoente, podemos observar um padrão muito importante.

Observe a sequência das potências

Vamos começar com as potências de 2:

2⁴ = 16

2³ = 8

2² = 4

2¹ = 2

Observe que, cada vez que diminuímos o expoente em 1, dividimos o resultado anterior pela base.

Veja:

16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

Continuando o mesmo padrão:

2 ÷ 2 = 1

Portanto:

2⁰ = 1

Isso mostra que o resultado não aparece por acaso. Ele é consequência do padrão das potências.

A propriedade da divisão de potências

Existe uma propriedade muito importante da potenciação:

a^m ÷ aⁿ = a^m−n

Essa propriedade vale quando a base é diferente de zero.

Agora vamos escolher dois expoentes iguais. Por exemplo, n:

aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ

Como qualquer número diferente de zero dividido por ele mesmo é igual a 1:

aⁿ ÷ aⁿ = 1

E sabemos que:

n − n = 0

Então:

aⁿ ÷ aⁿ = a⁰

Mas também:

aⁿ ÷ aⁿ = 1

Logo:

a⁰ = 1

É por isso que podemos afirmar:

a⁰ = 1, para a ≠ 0.

Por que não é igual a zero?

Uma dúvida comum é pensar que, como o expoente é zero, o resultado deveria ser zero.

Mas o expoente não representa uma multiplicação da base por ele mesmo. Ele indica quantas vezes a base participa da multiplicação em uma potência.

Além disso, a regra precisa manter as propriedades da potenciação funcionando corretamente.

Por exemplo:

5³ ÷ 5³ = 5³⁻³

Como:

5³ ÷ 5³ = 1

Então necessariamente:

5⁰ = 1

Exemplos de números elevados a zero

A regra vale para qualquer número diferente de zero.

Veja alguns exemplos:

3⁰ = 1

7⁰ = 1

15⁰ = 1

100⁰ = 1

1.000⁰ = 1

Também funciona com números negativos:

(−4)⁰ = 1

E com frações diferentes de zero:

(2/3)⁰ = 1

Em todos esses casos, a base é diferente de zero. Por isso, o resultado é 1.

O que acontece quando diminuímos o expoente?

Uma maneira simples de entender a regra é observar uma sequência:

10⁴ = 10.000

10³ = 1.000

10² = 100

10¹ = 10

10⁰ = 1

A cada passo, dividimos o resultado por 10:

10.000 ÷ 10 = 1.000

1.000 ÷ 10 = 100

100 ÷ 10 = 10

10 ÷ 10 = 1

Por isso:

10⁰ = 1

Mas e 0⁰?

Aqui existe uma importante exceção à explicação anterior.

Não devemos simplesmente afirmar que:

0⁰ = 1

usando a mesma regra, porque a propriedade utilizada anteriormente envolve uma divisão pela base, e divisão por zero não é definida.

Por isso, em matemática, a expressão 0⁰ é um caso especial e seu tratamento depende do contexto matemático.

Para a matemática básica, a regra que devemos memorizar é:

Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.

Por que essa regra é importante?

A regra não foi criada simplesmente para facilitar os cálculos. Ela é necessária para que as propriedades da potenciação sejam consistentes.

Se tivéssemos, por exemplo:

8² ÷ 8²

O resultado é claramente:

1

Mas usando a propriedade da divisão de potências:

8² ÷ 8² = 8²⁻²

Temos:

8⁰ = 1

Portanto, definir uma potência com expoente zero como 1 permite que a propriedade continue funcionando corretamente.

Uma forma fácil de lembrar

Quando o expoente diminui de 1 em 1, dividimos o resultado pela base.

Por exemplo:

2³ = 8

2² = 4

2¹ = 2

2⁰ = 1

O último passo é:

2 ÷ 2 = 1

Assim, sempre que encontrar uma potência com expoente zero, lembre-se:

Base diferente de zero + expoente zero = 1.

Resumo

A principal regra é:

a⁰ = 1, para a ≠ 0.

Isso acontece porque a propriedade da divisão de potências determina que:

aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ

Como:

aⁿ ÷ aⁿ = 1

e:

n − n = 0

concluímos que:

a⁰ = 1

Portanto, todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.

Exercícios rápidos

Agora teste seus conhecimentos. Resolva:

1. 8⁰ = ?
2. 25⁰ = ?
3. (−7)⁰ = ?
4. (5/2)⁰ = ?
5. 1.000⁰ = ?

Respostas

Todos os resultados são iguais a 1, pois todas as bases são diferentes de zero.

• 8⁰ = 1
• 25⁰ = 1
• (−7)⁰ = 1
• (5/2)⁰ = 1
• 1.000⁰ = 1

Agora você já sabe por que um número diferente de zero elevado a zero é igual a 1!